Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1} \right| = 2\) và \(\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4\)?

Câu 652453: Trên tập số phức, xét phương trình \({z^2} + az + b = 0{\rm{\;}}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {a,b} \right)\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1} \right| = 2\) và \(\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4\)?

A. 2.

B. 4.

C. 6.

D. 5.

Câu hỏi : 652453

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \({\rm{\Delta }} = {a^2} - 4b\).
TH1: \({a^2} - 4b > 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1},{z_2}\). Khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} + 1} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + 1 = \pm 2}\\{\sqrt {{{\left( {{z_2} - 3} \right)}^2} + 4} = 4}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} = 1}\\{{z_1} = - 3}\\{{z_2} = 3 \pm 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\),suy ra có 4 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.
TH2: \({a^2} - 4b < 0\), phương trình có hai nghiệm phức liên hợp \({z_1} = x + yi,{z_2} = x - yi.x,y \in \mathbb{R}\);
\(y \ne 0\). Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{z_1} + 1} \right| = 2}\\{\left| {{z_2} - 3 + 2i} \right| = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = 2}\\{\sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{( - y + 2)}^2}} = 4}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + 2x - 3 = 0}\\{{x^2} + {y^2} - 6x - 4y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 0}\\{{x^2} + {y^2} + 2x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{3}{5}}\\{y = - \dfrac{6}{5}}\end{array}} \right.\).
Suy ra \({z_1} = - 1 + 2i,{z_2} = - 1 - 2i\) hoặc \({z_1} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{6}{5}i,{z_2} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{6}{5}i\); do đó có 2 cặp \(\left( {a,b} \right)\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} - 4b < 0\) trong trường hợp này.
Vậy có tất cả có 6 cặp \(\left( {a,b} \right)\) thỏa yêu cầu bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.