Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z \left| + \right|z - \overline z } \right| = 4\) và \(ab > 0\). Xét \({z_1}\) và \({z_2}\) thuộc \(S\) sao cho \(\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + i}}\) là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2} - 2i} \right|\) bằng

Câu 652452: Gọi \(S\) là tập hợp các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z \left| + \right|z - \overline z } \right| = 4\) và \(ab > 0\). Xét \({z_1}\) và \({z_2}\) thuộc \(S\) sao cho \(\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + i}}\) là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2} - 2i} \right|\) bằng

A. \(2\sqrt 2 \).

B. 2.

C. \(2\sqrt 5 \).

D. \(2 + 2\sqrt 2 \).

Câu hỏi : 652452

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đầu tiên ta có \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì khi đó \(|z + \overline z \left| + \right|z - \overline z \left| { = 4 \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2,ab} \right\rangle 0\).
Do \(\dfrac{{{z_1} - {z_2}}}{{1 + i}}\) là số thực dương nên khi \(M\left( {{z_1}} \right),N\left( {{z_2}} \right)\) thì ta có:
\(\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {NM} = k\left( {1 + i} \right) = k\overrightarrow {OE} \left( {k \in {\mathbb{R}^ + }} \right)\)với \(E\left( {1;1} \right)\).
Do \(ab > 0\) nên tập hợp các điểm \(M,N\) thuộc \(S\) biểu diễn như hình vẽ sau:
Gọi \(F\left( { - 2; - 2} \right)\) là điểm đối xứng với \(O\) qua đoạn thẳng \(CD\)
Suy ra \(P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2} - 2i} \right| = MO + NA = NO + NA = NF + NA \ge FA = 2\sqrt 5 \)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(M \equiv {M_0} = AF \cap CD\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.