Cho lăng trụ đứng \(ABC{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có \(AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = {120^\circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B{B^\prime }\). Khi đó:

Câu 686877: Cho lăng trụ đứng \(ABC{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có \(AC = a,BC = 2a,\widehat {ACB} = {120^\circ }\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(B{B^\prime }\). Khi đó:

\(d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

\(d\left( {C{C^\prime },AM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{12}}\)

\(A{A^\prime } \bot (ABC),A{A^\prime } \bot \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\)

Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng 2a. Khi đó thể tích khối lăng trụ là: \({a^3}\sqrt 3 \).

Câu hỏi : 686877

Đáp án :
(4) bình luận (0) lời giải

** Viết lời giải bằng tiếng việt để bạn bè cùng tham khảo!
Viết lời giải

Up ảnh lời giải
Viết công thức
Giải chi tiết:

Ta có: \(C{C^\prime }//B{B^\prime } \Rightarrow C{C^\prime }//\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\) nên \(d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H\). (1)

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ đứng nên \(A{A^\prime } \bot (ABC) \Rightarrow CH \bot A{A^\prime }\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(CH \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right) \Rightarrow d\left( {C,\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = CH\).

Xét tam giác ABC, có \(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA \cdot CB \cdot \cos {120^\circ } = 7{a^2} \Rightarrow AB = a\sqrt 7 \).

Diện tích tam giác ABC là: \( \Rightarrow CH = \dfrac{{CA \cdot CB \cdot \sin {{120}^\circ }}}{{AB}} = \dfrac{{a \cdot 2a \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = CH = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Ta có AM và \(C{C^\prime }\) là hai đường thẳng chéo nhau mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C{C^\prime }//\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)}\\{AM \subset \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

nên \(d\left( {C{C^\prime },AM} \right) = d\left( {C{C^\prime },\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Vì \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình lăng trụ đứng nên \(A{A^\prime } \bot (ABC),A{A^\prime } \bot \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\).

Do vậy \(d\left( {(ABC),\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)} \right) = A{A^\prime } = 2a\).

Khối lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có chiều cao \(h = A{A^\prime } = 2a\), diện tích đáy là:

\(S = {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin {120^\circ } = \dfrac{1}{2}a \cdot 2a \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}{\rm{. }}\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = Sh = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot 2a = {a^3}\sqrt 3 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.