Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) và \(f\left( x \right) + x.f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \left[ {1;2} \right]\). Giá trị của \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 x.f\left( x \right)dx\) bằng

Câu 567553: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) và \(f\left( x \right) + x.f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2},\forall x \in \left[ {1;2} \right]\). Giá trị của \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 x.f\left( x \right)dx\) bằng

A. \(\ln 3\)

B. \(\ln \dfrac{3}{2}\)

C. \(\ln \dfrac{4}{3}\)

D. \(\ln \dfrac{3}{4}\)

Câu hỏi : 567553

Quảng cáo

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) + x.f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + {x^2}} \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\)
\( \Rightarrow - \dfrac{{\left[ {x.f\left( x \right)} \right]'}}{{{{\left[ {x.f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - 2x - 1 \Rightarrow \left[ {\dfrac{1}{{x.f\left( x \right)}}} \right]' = - 2x - 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{x.f\left( x \right)}} = - {x^2} - x + C\).
Từ \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) suy ra \(C = 0\). Hay \(x.f\left( x \right) = \dfrac{1}{{ - {x^2} - x}}\)
Khi đó: \(\int\limits_1^2 {x.f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{ - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{x}} \right)dx} = \ln \dfrac{3}{4}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.