Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1,\,\,{u_2} = 3,\,\,{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 1\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tính \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{n^2} + 1}}\).

Câu 323103: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1,\,\,{u_2} = 3,\,\,{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} - {u_n} + 1\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Tính \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{n^2} + 1}}\).

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{4}\)

Câu hỏi : 323103

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định công thức tổng quát cho \({u_n}\) sau đó tính giới hạn.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1;\,\,{u_3} = 3 = 1 + 2\\{u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 6 = {u_2} + 3 = 1 + 2 + 3\\{u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 10 = {u_3} + 4 = 1 + 2 + 3 + 4\\{u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 15 = {u_4} + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5\\....\end{array}\)

Dự đoán: \({u_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\,\,\left( {n \ge 1} \right)\,\,\left( * \right)\).

Dễ dàng chứng minh được \(\left( * \right)\) bằng phương pháp quy nạp như sau:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 1\) đúng.

Giả sử \(\left( * \right)\) đúng đến \(n = k\), tức là \({u_{k - 1}} = \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2};\,\,{u_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}\).

Ta cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = 2{u_k} - {u_{k - 1}} + 1 = 2\dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} - \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2{k^2} + 2k - {k^2} + k + 2}}{2} = \dfrac{{{k^2} + 3k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với mọi \(n \ge 1\).

Khi đó ta có: \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + 1}} = \lim \dfrac{{{n^2} + n}}{{2{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{2 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.